Simple versus Compounded Interest rate
Simple interest rate is the value of a cash flow is calculated without including any accrued interest to the principal.
그러므로 이 simple interest rate은 원금에 쌓인이자에 대한 이자를 받지않고 오직 원금에 대한 퍼센티지로만 이자를 받는거.
예를 들자면 $100을 8% p.a.(per annum의 줄인말로 매년이란 뜻이다) for 5 years 로 투자를 했다고 하면 매년마다 8%의 이자 즉 $8불을 5년동안 받게되는것이다.
고로 5년이 끝났을때는 140불이 남아있는것이다.
여기서 우리는 Future value와 Present value의 general form을 유추할수있다.
Future value는 이 기간이 끝났을때 받을 총 금액으로 F=P(1+n*r)로 표현되고
Present value는 어떤 투자자산에 현재가치를 나타냄 P=F/(1+n*r). 참고로 이 두개의 식은 Simple interest일때만 성립이된다.
위에 예로 Future value를 구해보면 F=100(1+5*0.08)=$140이 나오게된다.
같은식으로 Present value 는 P=140/(1+5*0.08)=$100이 나오게된다.
참고로 n= Maturity date로 만기일을 나타낸다 연단위를 자주쓰고
r=interest rate으로 이자율을 나타낸다. 8%면 r=8이 아니라 r=0.08인것을 주의해야한다.
다음으로는 Compounded interest rate이 있다
Interest accrued is added to the principal and reinvested. 즉 받은 이자가 다시 원금에 재투자가되고 원금+재투자가된 이자의 이자를 때서 만기일까지 계속 재투자를 하는 시스템이다.
위의 숫자들을 이용해 예를들자면
year 1에는 100*(1.08)=$108이고
year 2에는 108*(1.08)=$116.64이다.이후 year 5까지 같은 시스템이 반복된다.
따지고 보면 simple interest보다 이자를 더 많이 받는셈이다.
Future value F=P(1+r)^n
Present value P=F/(1+r)^n 으로 구할수있다.
응용문제를 하나 풀어보자면
만약에 우리가 $10,000이 5년후에 필요한데 지금 이자율이 8%라면 얼마를 투자해야할까?
간단하게 Present value식을 쓰면
P=10000/(1.08)^5=6805.83즉 $6805.83을 5년짜리 compounded interest rate 8%짜리 아이템에 투자를하면 5년후에 $10,000을 받을수있다.
사실 P=10000/(1.08)^5같은 계산은 손으로 하기에 시간낭비인 감이있어 학교에서는 계산기를 쓰고 짧은 2~3년 정도의 만기일만 문제로 나온다.
그럼 몇가지 요소가 현재가치와 미래가치의 미치는 영향 대해 몇가지 알아보자
1.만기일 n 이 늘어날수록 미래가치는 늘어나고 현재가치는 줄어든다.
생각해보면 당연한결과이다. 만기일이 늘어날수록 이자를 받는 기간이 늘어나 미래에 받는돈이 늘어나고, 만기일이 늘어날수록 더 적은돈을 투자해 큰돈을 미래에 받을수 있게된다.
2. 이자율이 늘어날수록 미래가치는 늘어나고 현재가치는 줄어든다.
설명이 필요없다. 이자율이 많으면 받는이자가 늘어나 미래에 받는돈이 커지고 더적은돈을 투자해도 많은 이자를 받기때문에 미래에 더 많은 돈을 받을 수 있다.
3. Compound interval즉 Compound 되는 주기가 줄어들수록 미래가치는 늘어나고 현재가치는 줄어든다.
이것도 조금만 생각해보면 일리가있다. Compound interval이 줄어들수록 우리가 넣어둔 원금이 더 자주 커져 이자율을 더 큰 원금에 떼기 때문에 미래가치가 늘어나게된다. 예를들자면 Compound interval이 1년인 아이템과 6개월인 아이템이 있다고 하자.
1년인 아이템은 만기일이 1년이고 이자율이 8%라 가정했을때
100*(1.08)=108을 받게된다
6개월인 아이템은 n=1/2, r=0.04
100*(1.04)=104
104*(1.04)=108.16을 받게된다.
그러므로 미래가치가 늘어나고 2번과 같은 이유로 현재가치는 줄어들게 되는것이다.
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