(3) Perpetuity와 Annuity

오늘은 Perpetuity와 Annuity에 대해 알아보자!

Perpetuity는 주기적으로 돈(이자?)을 받는것으로 시간은 무한대이다.

Perpetuity is a equal periodic cash flow that goes forever. 라고 의미는 정의되어있음.

예를들자면 1년후 100불 2년후 100불 ...N년후 100불 이렇게 계속되는 Cash flow를 말한다

Present value of perpetuity즉 이 아이템에 현재가치는

P=c1/(1+r)+c2/(1+r)^2+.....+cn/(1+r)^n으로 여기서 r은 annual return으로 이 아이템이 버는 리턴을 말한다.

고로 제네럴하게 P=C/r 로 정리가된다. 이 아이템에 현재가치는 Cash flow 나누기 require rate of return으로 구해진다.

Deferred Perpetuity는 Perpetuity가 미래에 시작되는 것을 말한다.

예를 들어 지금이 Year 1이라면 Deferred Perpetuity는 Year 3에 시작해 100불씩 주기적으로 받는 아이템을 칭한다.

제네럴 폼은 P=[ C/r ]/(1+r)^n이다.

이 식을 한번 보면 P=C/r 을 1+r로 n만큼 더 discounting한 값이다.

만약에 Year 3에 Perpetuity가 시작된다면 Year 3일때 현재가치는 C/r인데

지금은 Year 0이므로 3번을 더 디스카운팅해 P=[ C/r ] / (1+r)^3 으로 현재 가치를 구할수 있다. [

Ordinary annuity는 같은 돈을 매주기마다 받는데 그돈을 그 주기가 끝날때 (예를들자면 연말에) 받는 아이템으로 시간은

n만큼 유지된다.

이 Ordinary annuity는 n periods만큼 유지되므로 이 아이템에 값을 구하려면 그냥 Perpetuity와 n+1에 시작되는 Deferred perpetuity를 뺀값과 같다. 

생각을 해보면 Perpetuity는 period 0부터 period infinity까지 계속 되고 Deferred perpetuity는 n+1에서 infinity까지 계속 되므로 그 둘을 빼게되면

period 0부터 period n까지가 남게 된다. 

제네럴 폼은 

P=[ C/r ] [1-1/(1+r)^n]

F=[ C/r ] [(1+r)^n-1] 이다.

이쯤에서 예를 들어보자.

만약에 $100 Cashflow가 10년동안 있는 Ordinary annuity가 있다. annual return이 10%라 하면 

P= [100/0.1][1-1/(1.1)^10]=$614.5 이고

F= [100/0.1][(1.1)^10-1]=$1593.7 이다. 

Deferred Ordinary annuity는 Deferred perpetuity와 같이 구하면 된다.

Ordinary annuity가 Year 3에 시작한다 치면

일단 present value of ordinary annuity at year 3를 구한후 3년 만큼 discounting을 하면된다.

Annuity due는 ordinary annuity와 같지만 다른점이 있다면 Cashflow가 Start of period즉 (연초?) 에 있다는것이다.

그러므로 Year 0부터 cashflow가 존재한다. 그러므로 Ordinary annuity와 같은데 한 period가 더 compound 된다는 뜻이다.

제네럴 폼은

P=[ C/r ] [1-1/(1+r)^n] (1+r)

F=[ C/r ] [(1+r)^n-1] (1+r) 이다.

마지막으로 Effective interest rate에 대해 알아보자.

Effective interest rate은 Generally 이자율은 연마다 측정되는게 아니라 달마다 혹은 날마다로 주기가 다를수 있다.

그러므로 계산을 쉽게 하기위해 이 이자율을 연단위로 바꾼것이 Effective interest rate이다.

제네럴 폼은

r(e)=(1+r/m)^m-1 이고 m은 compound interval다.

예를 들어 이자율이 8%이면 

Compound interval이

Semi-annual (6개월)이면 r(e)=(1+0.08/2)^2-1=8.1600% p.a이고

Monthly (매달) r(e)=(1+0.08/12)^12-1=8.300% p.a

Daily (매일) r(e)=(1+0.08/365)^365-1=8.3278% p.a 이다.